Java Programming (Basic POO: Exception in thread "main" java.lang.NullPointerException)

The problem is in the initialization of the variables in the constructor, you are defining again the data type of each variable and it is not necessary because you defined them before, when you redefine them, those variables are only available within the constructor, and the global variables are never initialized, to solve you should only remove the data types of the variables.

Example:

public nueve() {
    System.out.println("Ingrese la cantidad de Alumnos: ");
    arreglo=sc.nextInt();
    Nombres = new String [arreglo];
    Legajo = new int [arreglo];
    AñoNacimiento = new int [arreglo];
}

That should be enough for the code to work.

Tip look at the conventions for writing Java code

The problem is that you are trying to add elements to an array that is not initialized / sized,

Nombres [i] = sc.nextLine(); 

If you define the array in the constructor you will not be able to use it in your other methods of your program:

 public nueve() {
        System.out.println("Ingrese la cantidad de Alumnos: ");
        arreglo=sc.nextInt();
        String Nombres [] = new String [arreglo];
        int Legajo [] = new int [arreglo];
        int AñoNacimiento [] = new int [arreglo];
    }

The solution is to use class variables to define these arrays, to be able to use them in any method of your class:

//String Nombres [] ;
private String[] Nombres;
//int Legajo [] ;
private int[] Legajo;
//int AñoNacimiento [];
private int[] AñoNacimiento;

in the constructor then, the arrays that you can use without problems in your program will be initialized:

public nueve() {
    System.out.println("Ingrese la cantidad de Alumnos: ");
    arreglo=sc.nextInt();
    //String Nombres [] = new String [arreglo];
     Nombres = new String [arreglo];
    //int Legajo [] = new int [arreglo];
     Legajo = new int [arreglo];
    //int AñoNacimiento [] = new int [arreglo];
     AñoNacimiento= new int [arreglo];
}

This would be the code:

import java.util.Scanner;

public class nueve {


    public static void main(String[] args) {

        nueve desempeño = new nueve();

        desempeño.cargardatos();
        desempeño.CualEsElDeMayorEdad();
        desempeño.DimeEdad();
        desempeño.EntreAños();
    }


    Scanner sc = new Scanner (System.in);
    private int arreglo;
    private int AñoEdad=2017;
    private String AlumnoMayorEdad;
    private int Año1, Año2;
    private String[] Nombres;
    //int Legajo [] ;
    private int[] Legajo;
    //int AñoNacimiento [];
    private int[] AñoNacimiento;


    public nueve() {
        System.out.println("Ingrese la cantidad de Alumnos: ");
        arreglo=sc.nextInt();
        //String Nombres [] = new String [arreglo];
         Nombres = new String [arreglo];
        //int Legajo [] = new int [arreglo];
         Legajo = new int [arreglo];
        //int AñoNacimiento [] = new int [arreglo];
         AñoNacimiento= new int [arreglo];
    }


    public void cargardatos() {
        for (int i=0; i<arreglo; i++ ){         
            System.out.println("Ingrese nombre de alumno: ");
            Nombres [i] = sc.next();        
            System.out.println("Ingrese el legajo del alumno " + Nombres[i] + ": ");
            Legajo [i] = sc.nextInt();

            System.out.println("Ingrese año de nacimiento del alumno " + Nombres[i] + ": ");
            AñoNacimiento [i] = sc.nextInt();
        }
    }
    public void CualEsElDeMayorEdad(){
        for (int i=0; i<arreglo; i++){
            if (AñoNacimiento[i]<AñoEdad){
                AlumnoMayorEdad=Nombres[i];
                AñoEdad=AñoNacimiento[i];
            }
        }
    }   
    public String DimeEdad(){
        return "El alumno de mayor edad es: " + AlumnoMayorEdad;
    }
    public void EntreAños(){
        System.out.println("Ingrese los dos años, primero el mayor edad: ");
        Año1=sc.nextInt();
        Año2=sc.nextInt();
        for (int i=0; i<arreglo; i++){
            if (AñoNacimiento[i]> Año1 && AñoNacimiento[i]<Año2){
                System.out.println("El alumno " + Nombres[i] + " esta entre esos años");
            }
        }

    }


}