Variable of SESSION for a form

The way to store data in $_SESSION is:

In your case, you could establish it before your condition:

session_start();
if (!isset($_GET['examen1'])) {
    $_SESSION['examen1'] = $_GET['examen1'];
}

if (isset($_SESSION['examen1'])) {
    $PorRegion = $_SESSION['examen1'];
    $examen1 = $PorRegion;
    $result = mysqli_query($conn, "SELECT * FROM comunas WHERE region = $PorRegion");
}

At the beginning of the page you must define the session variables.

<?php
session_start();
$seleccion=""
if (isset($_GET['examen1'])) {
    $_SESSION['examen1'] = $_GET['examen1'];
    $seleccion= $_SESSION['examen1'];
}
?>

Then the in select, you should change the option for something similar to this

<option value="1" <?php if ($condicion == 1):?> selected <?php endif;?>>I Región de Tarapacá</option>

I see that in one place you call it examen1 and in other PorRegion, you should call it the same, for example examen1. In addition, in some cases you use GET and in other POST, use for example GET:

//Función que devuelve un valor que está guardada en SESSION o se envía por GET
function getValue($name){

    //Asignamos la variable $value a través de la sesión si existe
    $value = (isset($_SESSION[$name])? $_SESSION[$name] : null);

    //Si se envía por GET, capturamos la variable y la guardamos en sesión
    if (isset($_GET[$name])) {
        $value = $_GET[$name];
        $_SESSION[$name]= $value ;
    }
    return $value;
}


//Asignamos un array vació a $result por si no hay resultados
$result = array();
$examen1 = getValue('examen1');


//Si tenemos la variable, sea por SESSION y por GET, hacemos la consulta
if($examen1){
  $result = mysqli_query(
        $conn, 
       "SELECT * FROM comunas WHERE region = $examen1"
  );
}

Also, the html could have it like this:

    <?php $examen1 = getValue('examen1'); ?>
    <form action="" method="GET">
    Filtrar por región: 
    <select name="examen1">
        <option>Elija una región ...</option>
        <option value="15" <?php if($examen1 == 15):?> selected <?php endif;?>>XV Región de Arica y Parinacota</option>
        <option value="1" <?php if($examen1 == 1):?> selected <?php endif;?>>I Región de Tarapacá</option>
        <option value="2" <?php if($examen1 == 2):?> selected <?php endif;?>>II Región de Antofagasta</option>
        <option value="3" <?php if($examen1 == 3):?> selected <?php endif;?>>III Región de Atacama</option>
        <option value="4" <?php if($examen1 == 4):?> selected <?php endif;?>>IV Región de Coquimbo</option>
        <option value="5" <?php if($examen1 == 5):?> selected <?php endif;?>>V Región de Valparaíso</option>
        <option value="13" <?php if($examen1 == 13):?> selected <?php endif;?>>RM de Santiago</option>
        <option value="6" <?php if($examen1 == 6):?> selected <?php endif;?>>VI Región de O´Higgins</option>
        <option value="7" <?php if($examen1 == 7):?> selected <?php endif;?>>VII Región del Maule</option>
        <option value="8" <?php if($examen1 == 8):?> selected <?php endif;?>>VIII Región del Biobío</option>
        <option value="9" <?php if($examen1 == 9):?> selected <?php endif;?>>IX Región de La Araucanía</option>
        <option value="14" <?php if($examen1 == 14):?> selected <?php endif;?>>XIV Región de Los Ríos</option>
        <option value="10" <?php if($examen1 == 10):?> selected <?php endif;?>>X Región de Los Lagos</option>
        <option value="11" <?php if($examen1 == 11):?> selected <?php endif;?>>XI Región de Aysén</option>
        <option value="12" <?php if($examen1 == 12):?> selected <?php endif;?>>XII Región de Magallanes</option>
    </select>
    <input type="submit" value="Buscar">
</form>

Finally, remember that to use sessions you must have the session created:

session_start();