Why does not the while function?

To enter the while categoria must be different from 0 at first, you can put any value, in this case I initialized it with 1. The averages are going to be calculated out of the while, since you have the total sum of the salaries, to avoid that when you put 0 you ask for the salary, I added a small if you skip the steps, and at the end, to take the average your error is due to the division between 0, for it is validated that if the amount and the sum must be greater than 0.

public static void main(String[] args) {
        int sueldo;
        int categoria = 1; //Aquí inicializas en un valor diferente a 0
        int cantidadCate1 = 0;
        int cantidadCate2 = 0;
        int cantidadCate3 = 0;
        int cantidadSueldo = 0;
        int sumatoria1 = 0;
        int sumatoria2 = 0;
        int sumatoria3 = 0;
        int promedio1 = 0;
        int promedio2 = 0;
        int promedio3 = 0;

        Scanner teclado = new Scanner(System.in);

        while (categoria != 0) {
            System.out.println("Ingrese categoria : ");
            categoria = teclado.nextInt();

            if (categoria != 0) {//Este if sirve para que no te pida el sueldo
                System.out.println("Ingrese sueldo : ");
                sueldo = teclado.nextInt();
                if (categoria == 1) {
                    if (sueldo < 10000) {
                        cantidadCate1++;
                    }
                    sumatoria1 += sueldo;
                }
                if (categoria == 2) {
                    if (sueldo >= 12000) {
                        cantidadCate2++;
                    }
                    sumatoria2 += sueldo;
                }
                if (categoria == 3) {
                    if (sueldo <= 15000) {
                        cantidadCate3++;
                    }
                    sumatoria3 += sueldo;
                }
                if (sueldo > 15000) {
                    cantidadSueldo++;
                }
            }
        }

        //Validaciones que no sean divisiones entre 0

        if (sumatoria1 > 0 && cantidadCate1 > 0) {
            promedio1 = sumatoria1 / cantidadCate1;
        }
        if (sumatoria2 > 0 && cantidadCate2 > 0) {
            promedio2 = sumatoria2 / cantidadCate2;
        }
        if (sumatoria3 > 0 && cantidadCate3 > 0) {
            promedio3 = sumatoria3 / cantidadCate3;
        }

        System.out.println("a)Cantidad de sueldos <10000 en la categoria 1 : " + cantidadCate1);
        System.out.println("b1)Cantidad de sueldos >= 12000 en la categoira 2 : " + cantidadCate2);
        System.out.println("b2)Cantidad de de sueldos <= 15000 en la categoira 3 : " + cantidadCate3);
        System.out.println("c)Cantidad de sueldos > 15000 : " + cantidadSueldo);
        System.out.println("d)Promedio de los sueldos de cada categoria : ");
        System.out.println("Promedio de la categoria 1 : " + promedio1);
        System.out.println("Promedio de la categoria 2 : " + promedio2);
        System.out.println("Promedio de la categoria 3 : " + promedio3);
    }

Greetings

Previously I had told you that in the case in which no category is selected the values of cantidadCate1, cantidadCate2 y cantidadCate3 , would have the value of zero, which would cause the error:

  

("Exception in thread" main "java.lang.ArithmeticException: / by   zero ")

For this you must validate only perform the operation when any of the variables does not have zero value:

    if(cantidadCate1 > 0)
    promedio1 = sumatoria1 / cantidadCate1;
    if(cantidadCate2 > 0)
    promedio2 = sumatoria2 / cantidadCate2;
    if(cantidadCate3 > 0)
    promedio3 = sumatoria3 / cantidadCate3;