convert $ .getJSON script to $ .post

Analyzing the way in which you take the data of the response of the ajax function, you will have to use deferred to be able to handle the function .done()

$(document).ready(function(){
    $def = $.Deferred();
    //getdeails será nuestra función para enviar la solicitud ajax
    var getdetails = function(id){
        $.post('personas.php',{id:id}, function(respuesta){
            $def.resolve(respuesta);
        }, "json");
        return $def;
    }

//al hacer click sobre cualquier elemento que tenga el atributo data-user.....
$('[data-user]').click(function(e){
    //Detenemos el comportamiento normal del evento click sobre el elemento clicado
    e.preventDefault();
    //Mostramos texto de que la solicitud está en curso
    $("#response-container").html("<p>Buscando...</p>");
    //this hace referencia al elemento que ha lanzado el evento click
    //con el método .data('user') obtenemos el valor del atributo data-user de dicho elemento y lo pasamos a la función getdetails definida anteriormente
    getdetails($(this).data('user'))
    .done( function( response ) {
        //done() es ejecutada cuándo se recibe la respuesta del servidor. response es el objeto JSON recibido
        if( response.success ) {

            var output = "<h1>" + response.data.message + "</h1>";
            //recorremos cada usuario
            $.each(response.data.users, function( key, value ) {
                output += "<h2>Detalles del usuario " + value['ID'] + "</h2>";
                //recorremos los valores de cada usuario
                $.each( value, function ( userkey, uservalue) {
                    output += '<ul>';
                    output += '<li>' + userkey + ': ' + uservalue + "</li>";
                    output += '</ul>';
                });
            });

            //Actualizamos el HTML del elemento con id="#response-container"
            $("#response-container").html(output);

            } else {
            //response.success no es true
            $("#response-container").html('No ha habido suerte: ' + response.data.message);
        }
    })
    .fail(function( jqXHR, textStatus, errorThrown ) {
        $("#response-container").html("Algo ha fallado: " +  textStatus);
    });
});

});

The variable $ def is only a promise (deferred) of jQuery that you return in your function getdetails, which when resolved resolve() will send the function done() with all the code inside it.

When in a $.post you are passing the value of dataType it is mandatory that you also execute the function success that returns the returned values, it would be something like this:

var getdetails = function(id){
    $.post('index.php',{id:id}, function(respuesta){
        return respuesta
    }, "json");
}

Although if you do not need a function that returns the values you can declare it as null :

var getdetails = function(id){
    $.post('index.php',{id:id}, null, "json");
}