Error inserting records with MySQLi with prepared statements

I published a question yesterday, but another very similar problem arose, I already verified the connection to my database (it is correct), I already did "SELECT" of all my table and answered correctly, and update records and if you update them , just that the updated id that returns to me is "0", when it really is not like that.

$id_registro = $sql->insert_id; this is what always returns "0", that's why it does not enter the if($id_registro > 0) which makes me get the error. I already verified that my column has AUTO_INCREMENT .

I have already verified that the data in the form is sent correctly, honestly I do not know where the error could be. Any extra information you need, I can provide it.

In the part of the AJAX that becomes a console.log(data) I tried to return the php variable die(json_encode($sql)); and all the fields return it as NULL .

This is my connection to the database.

$conn = new mysqli('localhost', 'root', '******', '*********');

if($conn->connect_error){
  echo $error -> $conn->connect_error;
}

This is my php file

include_once "funciones/funciones.php";
$usuario = $_POST['usuario'];
$nombre = $_POST['nombre'];
$password = $_POST['password'];
$id_registro = $_POST['id_registro'];
if ($_POST['registro'] == 'nuevo') { //INICIO-NUEVO
  $opciones = array(
    'cost' => 12
  );
  $password_hashed = password_hash($password, PASSWORD_BCRYPT, $opciones);
  try {
    $sql = $conn->prepare(" INSERT INTO admins (usuario, nombre, password) VALUES (?, ?, ?) ");
    $sql->bind_param('sss', $usuario, $nombre, $password_hashed);
    $sql->execute();
    $id_registro = $sql->insert_id; //la pregunta pasada me dijeron que insert_id es un método de la conexión no de la sentencia, probé ambas y no funcionó
    if ($id_registro > 0) {
      $respuesta = array(
        'respuesta' => 'exito',
        'id_admin' => $id_registro
      );
    }else{
      $respuesta = array(
        'respuesta' => 'error'
      );
    }
    $sql->close();
    $conn->close();
  } catch (Exception $e) {
    echo "Error: " . $e->getMessage();
  }
die(json_encode($respuesta));// aqui se regresan valores a ajax
} // FIN-NUEVO

if ($_POST['registro'] == 'actualizar') { // INICIO-ACTUALIZAR
  try {
    if (empty($_POST['password'])) {
      $stmt = $conn->prepare("UPDATE admins SET usuario = ?, nombre = ?, editado = NOW() WHERE id_admin = ? ");
      $stmt->bind_param("ssi", $usuario, $nombre, $id_registro);
    }else{
      $opciones = array(
        'cost'=>12
      );
      $hash_password = password_hash($password, PASSWORD_BCRYPT, $opciones);
      $stmt = $conn->prepare("UPDATE admins SET usuario = ?, nombre = ?, password = ?, editado = NOW() WHERE id_admin = ? ");
      $stmt->bind_param("sssi", $usuario, $nombre, $hash_password, $id_registro);
    }
    $stmt->execute();
    if ($stmt->affected_rows) {
      $respuesta = array(
        'respuesta' => 'exito', // esto tiene que corresponder con la respuesta esperada en AJAX
        'id_actualizado' => $stmt->insert_id
      );
    }else{
      $respuesta = array(
        'respuesta' => 'error'
      );
    }
    $stmt->close();
    $conn->close();
  } catch (Exception $e) {
    $respuesta = array(
      'respuesta' => $e->getMessage()
    );
  }
  die(json_encode($respuesta));
} // FIN-ACTUALIZAR

This is the AJAX to which the answer returns.

  $('#guardar-registro').on('submit', function(e){
    e.preventDefault();
    var datos = $(this).serializeArray();
    $.ajax({
      type: $(this).attr('method'), // post, en este caso
      data: datos, // la variable con todos los datos enviados
      url: $(this).attr('action'), //esto es el archivo php que está más arriba
      dataType: 'json', // el formato de los datos que estamos enviando
      success: function(data) { // data, es lo que regresa el archivo enlazado
        console.log(data);
        var resultado = data;
        if (resultado.respuesta == 'exito') {
          swal(
            'Correcto',
            'Se guardó correctamente',
            'success'
          )
        }else{
          swal(
            'Incorrecto',
            'Hubo un error al crear el administrador',
            'error'
          )
        }
      }
    })
  });

EDIT:

This is what the SHOW CREATE TABLE admins shows:

CREATE TABLE 'admins' (
 'id_admin' int(10) unsigned NOT NULL AUTO_INCREMENT,
 'usuario' varchar(50) NOT NULL,
 'nombre' varchar(100) NOT NULL,
 'password' varchar(60) NOT NULL,
 'editado' datetime DEFAULT NULL,
 'nivel' int(1) NOT NULL,
 PRIMARY KEY ('id_admin'),
 UNIQUE KEY 'usuario' ('usuario')
) ENGINE=InnoDB AUTO_INCREMENT=2 DEFAULT CHARSET=utf8